Question

【题目】如图，在边长为 6 的等边△ABC 中，D 为 AC 上一点，AD=2，P 为 BD 上一点，连接 CP，以 CP 为 边，在 PC 的右侧作等边△CPQ，连接 AQ 交 BD 延长线于 E，当△CPQ 面积最小时，QE=____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相似三角形的性质可求AE的长，即可求解．

如图，过点D作DF⊥BC于F，

∵△ABC，△PQC是等边三角形，

∴BC＝AC，PC＝CQ，∠BCA＝∠PCQ＝60°，

∴∠BCP＝∠ACQ，且AC＝BC，CQ＝PC，

∴△ACQ≌△BCP（SAS）

∴AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，

∵AC＝6，AD＝2，

∴CD＝4，

∵∠ACB＝60°，DF⊥BC，

∴∠CDF＝30°，

∴CF＝CD＝2，DF＝CF÷tan30°=CF＝2，

∴BF＝4，

∴BD＝==2，

∵△CPQ是等边三角形，

∴S△CPQ＝CP2，

∴当CP⊥BD时，△CPQ面积最小，

∴cos∠CBD＝，

∴，

∴BP＝，

∴AQ＝BP＝，

∵∠CAQ＝∠CBP，∠ADE＝∠BDC，

∴△ADE∽△BDC，

∴，

∴，

∴AE＝，

∴QE＝AQAE＝

故答案为；．