Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A出发，沿边AD向点D以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以6cm/s的速度移动，P、Q同时出发，若有一点运动到端点时，另一点也随之停止．则①CD=________cm；②经过________秒后，PQ=CD．

Answer 1

5    2.25或3
分析：①只需作直角梯形的另一条高，根据矩形的性质和勾股定理进行计算；
②需要考虑两种情况：四边形PQCD是平行四边形或四边形PQCD是等腰梯形．
根据平行四边形的对边相等和等腰梯形的上下底的差的一半等于3的2倍进行计算．
解答：①作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．

∴DH=AB=4，BH=AD=18．
∴CH=BC-AD=21-18=3．
根据勾股定理，得CD=5（cm）．

②设经过t秒后，PQ=CD．
根据题意，得AP=2t，CQ=6t．
如图1，此时四边形PQCD是平行四边形，则PD=CQ，即18-2t=6t，t=2.25（秒）；
如图2，此时四边形PQCD是等腰梯形．
作PG⊥BC于G．
6t-（18-2t）=6，
8t=24，
t=3（秒）．
点评：作直角梯形的另一条高是常见的辅助线之一．
熟练运用矩形的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质进行分析．