Question

3．问题背景：
如图1，点E、F在直线l的同侧，要在直线l上找一点K，使KE与KF的距离之和最小．我们可以作出点E关于l的对称点E′，连接FE′交直线L于点K，则点K即为所求．

（1）实践运用：
抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．如图2．
①求该抛物线的解析式；
②在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，并求出此时点P的坐标及PA+PC的最小值．
（2）知识拓展：
在对称轴上找一点Q，使|QA-QC|的值最大，并求出此时点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可；
（2）根据直线上取一点使在该直线同侧的两点到这个点的距离之和最小的方法，确定出点A关于x=1的对称点B或点C关于x=1的对称点D的坐标即可；
（3）根据三角形的两边之差小于第三边，要使在对称轴x=1上找一点Q，使|QA-QC|的值最大，只有点Q是直线AC和x=1的交点，求出AC即可．

解答 解：（1）①设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵C（0，-3）在此抛物线上，
∴-3=a×1×（-3），
∴a=1，
∴y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
②如图，

由（1）由抛物线y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3=（x-1）²-4的对称轴为x=1，
∵点D与C关于x=1对称，且C（0，-3）
∴D（2，-3），
∵A（-1，0），
∴AD=3$\sqrt{2}$，
∴PA+PC的最小值为3$\sqrt{2}$，
∵A（-1，0），D（2，-3）
∴直线AD解析式为y=-x-1，
∴P（1，-2），
（2）如图2，在对称轴上找一点Q，使|QA-QC|的值最大

∵在对称轴上找一点Q，使|QA-QC|的值最大，
∴点Q就是直线AC和直线x=1的交点，最大值就是AC，
（点Q不在直线AC上时，点A，C，Q构成三角形，由于两边之差小于第三边，就有|AQ-CQ|＜AC，）
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴AC=$\sqrt{10}$，直线AC的解析式为y=-3x-3，
∴Q（1，-6），
即：|QA-QC|的值最大为$\sqrt{10}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，抛物线的对称性，确定点A或点C关于对称轴x=1的对称点的坐标解本题的关键，确定点Q的位置是解本题的难点．