Question

如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下列结论：
①△ODC是等边三角形；②AC=2AB；③∠AOE=135°； ④S_△AOE=S_△COE，
其中正确的结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：根据角平分线的定义可得∠BAE=45°，然后求出∠BAO=60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后判断出△AOB是等边三角形，然后求出△ODC也是等边三角形，判断出①正确；求出AC=2AB，判断出②正确；判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出AB=BE，再求出BO=BE，根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE=75°，然后求出∠AOE=135°，判断出③正确；根据等底等高的三角形的面积相等可得S_△AOE=S_△COE，判断出④正确．

解答：解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
又∵矩形中OA=OB=OC=OD，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
由等边三角形的性质，AB=OA，
∴AC=2AB，故②正确；
∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∴BO=BE，
∵∠COB=180°-60°=120°，
∴∠BOE=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°，故③正确；
∵△AOE和△COE的底边AO=CO，点E到AC的距离相等，
∴S_△AOE=S_△COE，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④．
故答案为：①、②、③、④．

点评：本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，等底等高的三角形的面积相等，综合题，但难度不大，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．