Question

8．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，-1）、B（-2，0）、C（4，0）
（1）求△ABC的面积；
（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．
（3）有一个P（-4，a），使得S_△PAB=S_△ABC，请你求出a的值．

Answer 1

分析 （1）根据AO=1，BC=6，求得△ABC的面积；
（2）设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，根据BD=AD=1+a，∠BOD=90°，可得Rt△BOD中，OD²+OB²=BD²，即a²+2²=（a+1）²，进而得出点D坐标；
（3）分两种情况进行讨论，点P在第二象限或第三象限内，根据S_△PAB=S_△ABC，求出a的值．

解答 解：（1）∵A（0，-1）、B（-2，0）、C（4，0），
∴AO=1，BC=6，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×6×1=3；

（2）存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形．
如图所示，设D（0，a），则AD=1+a，OD=a，
∵BD=AD=1+a，∠BOD=90°，
∴Rt△BOD中，OD²+OB²=BD²，
∴a²+2²=（a+1）²，
解得a=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，$\frac{3}{2}$）；

（3）在x轴负半轴上取点D（-4，0），过D作x轴的垂线l，则点P在该垂线l上，
过C作CP∥AB，交l于点P，则S_△PAB=S_△ABC，
∵A（0，-1）、B（-2，0），
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-1，
设直线CP解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b，
把C（4，0）代入，可得
0=-2+b，
解得b=2，
∴直线CP解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴F（0，2），
当x=-4时，y=2+2=4，
∴P（-4，4）；
当点P'在x轴下方时，设过P'且平行于AB的直线交y轴于E，则AE=AF=3，
∴OE=4，即E（0，-4），
∴直线P'E解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-4，
当x=-4时，y=2-4=-2，
∴P'（-4，-2），
∴a的值为4或-2．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质以及坐标与图形性质，解决问题的关键是根据勾股定理列出方程进行求解．解题时注意分类思想的运用．