Question

已知：在?ABCD中，∠C=120°，将三角板的60°角的顶点重合于点A，角的两边分别与BC、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当AF⊥CD时，求证：；
（2）将三角板从备用图虚线位置开始绕着A点旋转，画出旋转过程中的一种图形，并探究图形中（1）的结论是否依然成立，说明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知及平行四边形的性质可求∠B=∠D=60°，又∠BAE=∠DAF=30°，可证明△ABE∽△ADF，所以．（2）仿照（1）作AE'⊥BC，AF'⊥CD，由于∠E′AE=∠F′AF=旋转角α，同样可证△AE′E∽△AF′F，得出比例式．
解答：（1）证明：∵AF⊥CD，∠EAF=60°，∠C=120°，
∴∠B=∠D=60°，∠BAE=∠DAF=30°．
∴△ABE∽△ADF．
∴．


（2）解：成立
理由：由（1）可知，∠AE′E=∠AF′F=90°，∠E′AE=∠F′AF=旋转角α，
∴△AE′E∽△AF′F．
∴=．
∵=，
∴．
点评：主要考查了平行四边形和旋转的性质，要会利用三角形相似的性质来求比例线段．