Question

已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C。
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；
（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设直线l解析式为y=kx+b， 将A（6，0）和B（0，12）代入， 得：， 解得：， ∴直线l解析式为y=-2x+12；
（2）解方程组：， 得：， ∴点C的坐标为（4，4）， ∴S△COP=x×4=2x； ∵PD∥l， ∴△OPD∽△OAC， ∴， 而， ∴， 即， ∴△PCD的面积S与x的函数关系式为： S=-x2+2x， ∵S=-（x-3）2+3， ∴当x=3时，S有最大值，最大值是3；
（3）存在点P，使得△PCA成为等腰三角形， ∵点C的坐标为（4，4），A（6，0）， 根据P1C=CA，P3A=AC，P2A=AC，P4C=P4A时分别求出即可， 当P1C=CA时，P1（2，0）， 当P2A=AC时，P2（6-2，0）， 当P3A=AC时，P3（6+2，0）， 当P4C=P4A时，P4（1，0）， ∴点P的坐标分别为： P1（2，0），P2（6-2，0），P3（6+2，0），P4（1，0）。