Question

如图，在□ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作AP∥BC，交DC的延长线于点P．

（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）当∠P满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论．

Answer 1

见解析

试题分析：(1)因为ABCD是平行四边形，所以对角相等，对边相等。而E、F又是对边中点，利用“SAS”             即可证明△ABE≌△DCF
（2）∠P=90°时，四边形BECF是菱形。
要使四边形BECF是菱形，只要邻边相等即可，也就是说只要满足BE=EC即可，假设BE=EC，由于AE=EC，所以有AE=BE，BE=CE，所以∠ABE=∠BAE，∠EBC=∠ECB，而∠ABE+∠BAE+∠EBC+∠ ECB=180°（△ABC内角和）.所以2∠ABE+2∠EBC=180°，所以∠ABE+∠EBC=90°，即∠ABC=90°，由于AB//CP，AP//BC，所以四边形BAPC是平行四边形，所以∠P=∠ABC=90º.
试题解析：
（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠D,AB=CD,BD=AC
∵E、F分别为AC,BD中点
∴AE=FD
在△ABE和△DCF中，
AB=CD，∠A=∠D，AE=FD
∴△ABE≌△DCF
（2）解：问题可知使四边形BECF是菱形，
∴BE=EC
又∵AE=EC
∴∠EBC=∠ECB
BE=AE
∴∠A=∠ABE
∵∠A+∠ABE+∠EBC+∠ECB=180º
∴2∠ABE+2∠EBC=180º
∴∠ABE+∠EBC=90º
∴∠ABC=90º
又∵AB//CP，AP//BC
∴四边形BAPC是平行四边形
∴∠P=∠ABC=90º
即∠P=90º时，四边形BECF是菱形