Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC15°，AB，BC2，以AB为直角边向外作等腰直角△BAD，且∠BAD=90°；以BC为斜边向外作等腰直角△BEC，连接DE．

（1）按要求补全图形；

（2）求DE长；

（3）直接写出△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据题意描述绘图即可.

（2）连接DC，先证明△BCD是等边三角形,再证明DE垂直平分BC.由勾股定理求出DF和EF的长度,DE=DF+EF.

（3）可以证明△ABC≌△DAC，用△DBC的面积减去△ABD的面积除以2即可得到△ABC的面积.

解：（1）如图所示

（2） 连接DC

解：∵△ABD是等腰直角三角形, AB=，∠BAD=90°.

∴ AB=AD= ，∠ABD=45°.

由勾股定理得DB=2.

∴ ∠DBC=∠ABC+∠ABD=60°.

∵BC=2.

∴ BC=BD.

∴△BCD是等边三角形.

∴BD=CD=2.

∴D点在线段BC的垂直平分线上.

又∵△BEC是等腰直角三角形.

∴BE=CE ，∠CEB=45°

∴E点在线段BC的垂直平分线上.

∴DE垂直平分BC.

∴BF=BC=1， ∠BFE=90°

∵∠FBE=∠BEF=45°

∴BF=EF=1

Rt△BFD中，BF=1，BD=2

由勾股定理得DF=,

∴ DE=DF+EF =.

（3）∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，

∴△ABC≌△DAC.

用△DBC的面积减去△ABD的面积除以2即可得到△ABC的面积.

△DBC的面积为=，△ABD的面积为.

所以△ABC的面积为.