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(2014•涉县一模)如图,AD为⊙O直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别如下:对于甲乙两人的作法,可判断( )

甲:①以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B.C两点.

②连接AB,BC,CA.△ABC即为所求的三角形

乙:①作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点.

②连接AB,BC.△ABC即为所求三角形.

A.甲对,乙不对 B.甲不对,乙对 C.两人都对 D.两人都不对

C

【解析】

试题分析:甲的作法.连接DB、DC,由作图可知,DB=DO=DC,在⊙O中可知OB=OD=OC,故可得出△OBD和△OCD都是等边三角形,再根据==可知∠ODB=∠ACB=60°,∠ABC=∠ODC=60°,故可得出结论;

乙的作法,连接OB、OC.根据AD为⊙O的直径,BC是半径OD的垂直平分线,由垂径定理可知==,OE=OD=OC,所以AB=AC.在Rt△OEC中由锐角三角函数的定义可得出cos∠EOC的值,进而可求出∠EOC的度数,进而可得出结论.

【解析】
甲的作法.如图2;

证明:连接DB、DC.

由作图可知:

DB=DO=DC,

在⊙O中,

∴OB=OD=OC,

∴△OBD和△OCD都是等边三角形,

∴∠ODB=∠ODC=60°,

==

∴∠ODB=∠ACB=60°,∠ABC=∠ODC=60°,

∴△ABC是等边三角形.

乙的作法如图1,

证明:连接OB、OC.

∵AD为⊙O的直径,BC是半径OD的垂直平分线,

==,OE=OD=OC,

∴AB=AC.

在Rt△OEC中,

∴cos∠EOC==

∴∠EOC=60°,

∴∠BOC=120°.

∴∠BAC=60°.

∴△ABC是等边三角形.

故选:C.

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