Question

8．已知α，β是方程x²+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α²）（1+2008β+β²）的值为4．

Answer 1

分析 α，β是方程x²+2006x+1=0的两个根，由方程根的意义及根与系数关系，可得出四个等式：α²+2006α+1=0，β²+2006β+1=0，α+β=-2006，α•β=1，再根据（1+2008α+α²）（1+2008β+β²）=4α•β代值即可．

解答 解：∵α，β是方程x²+2006x+1=0的两个根，
∴α²+2006α+1=0，β²+2006β+1=0．且α•β=1．
由此可得：1+2008α+α²=2α，1+2008β+β²=2β．
∴（1+2008α+α²）（1+2008β+β²）=4α•β=4．
故答案为4．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．