Question

如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI．
求证：AB+AC=2BC．

Answer 1

分析：延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，可得BD=ID=AI．易证

BD

=

DC

，则OD⊥BC，作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，则BD=AI，所以Rt△BDE≌Rt△AIG，从而得出AB+AC=2BC．

解答：证明：延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD，
∴AI=ID，
又∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI，
=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=∠DIB，
因此，BD=ID=AI，
易证

BD

=

DC

，
故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE=

1

2

BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=

1

2

BC，但AG=

1

2

（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC．

点评：本题考查了三角形的内切圆和全等三角形的判定和性质．