Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l₁经过点A（-2，0）和点B（0，），直线l₂的函数表达式为y=-x+，l₁与l₂相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线l₁上运动，设圆心C的横坐标是a．过点C作CM⊥x轴，垂足是点M．
（1）填空：直线l₁的函数表达式是______

Answer 1

【答案】分析：（1）因为直线l₁经过点A（-2，0）和点B（0，），可设直线l₁的解析式为y=kx+b，将A、B的坐标代入，利用方程组即可求得该解析式，又因直线l₂的函数表达式为y=-x+，l₁与l₂相交于点P，所以将两函数解析式联立得到方程组，解之即可得到交点P的坐标，过P作x轴的垂线段，垂足为H，由P的坐标可知，AH=EH=3，PH=，所以∠PEA=∠PAE=30°，利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得到∠FPB是60°；
（2）当C在射线PA的延长线上时，设⊙C和直线l₂相切时，D是切点，连接CD，则CD⊥PD．过点P作CM的垂线PG，垂足为G，因为∠CPG=∠CAB=30°，PC=PC，所以可证Rt△CDP≌Rt△PGC，所以PG=CD=R．当点C在射线PA上，⊙C和直线l₂相切时，同理可证Rt△CDP≌Rt△PGC，所以PG=CD=R．取R=-2时，C在AP的反向延长线上时，因为P的横坐标为1，所以a=1+R=-1，C在PA上时，因为P的横坐标为1，所以a=-（R-1）=3-3；
（3）当⊙C和直线l₂不相离时，由（2）知，分两种情况讨论：①当0≤a≤-1时，四边形是一个直角梯形，所以有=，利用二次函数的顶点公式即可求出S的最大值；
②当=3-3≤a＜0时，显然⊙C和直线l₂相切即a=3-3时，S最大．此时
s_最大值=，综合以上①和②，即可求出答案．
解答：解：（1）设直线l₁的解析式为y=kx+b，
∵直线l₁经过点A（-2，0）和点B（0，），
∴，
解得，
∴直线l₁的解析式为y=x+；
联立l₁与l₂得，
，
解得，
∴P（1，）；
过P作x轴的垂线段，垂足为H，
∵P（1，），
∴AH=EH=3，PH=，
∴∠PEA=∠PAE=30°，
∴∠FPB=∠PEA+∠PAE=60°；

（2）设⊙C和直线l₂相切时的一种情况如图1所示，D是切点，连接CD，则CD⊥PD．过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则Rt△CDP≌Rt△PGC（∠PCD=∠CPG=30°，CP=PC），
∴PG=CD=R．
当点C在射线PA上，⊙C和直线l₂相切时，同理可证．
取R=-2时，a=1+R=-1，或a=-（R-1）=3-3；

（3）当⊙C和直线l₂不相离时，由（2）知，分两种情况讨论：
①如图2，当0≤a≤-1时，
=，
时，（满足a≤-1），S有最大值．此时s_最大值=（）；
②当=3-3≤a＜0时，显然⊙C和直线l₂相切即a=3-3时，S最大．此时
s_最大值=．
综合以上①和②，当a=3或a=时，存在S的最大值，其最大面积为．
点评：考查一次函数的解析式、图象、性质和圆的相关知识，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．
此题也较为新颖，符合新课标的理念，揭示了求最值的一般方法，本题的难度设置也较为合适，使同学们都能有发挥自己能力的空间．