Question

如图，已知⊙O的直径AB=16，点C是⊙O的一点，且

AC

=

BC

．
（1）求AC的长；
（2）若AD是⊙O的切线，点D与C在直径AB的两侧．
①求△CDO的面积；
②求由

BC

、CD、DB围成的图形面积比由

AC

、CD、DA围成的图形面积大多少？

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，再由

AC

=

BC

得AC=BC，于是可判断△ABC为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得AC=

2

2

AB=8

2

；
（2）①根据切线的性质得AD⊥AB，再根据等腰直角三角形的性质得OC⊥CD，所以AD∥OC，则根据三角形面积公式得S_△CDO=S_△AOC=

1

2

•OC•AO=32；
②设由

BC

、CD、DB围成的图形面积为S₁，由

AC

、CD、DA围成的图形面积S₂，则S₁=S_扇形BOC+S_△COD+S_△BOD，S₂=S_扇形AOC+S_△AOD-S_△COD，
由于S_扇形AOC=S_扇形BOC，S_△BOD=S_△AOD，所以S₁-S₂=2S_△COD=64．

解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵

AC

=

BC

，
∴AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=

2

2

AB=

2

2

×16=8

2

；
（2）①∵AD是⊙O的切线，
∴AD⊥AB，
∵OC为等腰直角三角形ABC斜边上的中线，
∴OC⊥CD，
∴AD∥OC，
∴S_△CDO=S_△AOC=

1

2

•OC•AO=

1

2

×8×8=32；
②设由

BC

、CD、DB围成的图形面积为S₁，由

AC

、CD、DA围成的图形面积S₂，
S₁=S_扇形BOC+S_△COD+S_△BOD，S₂=S_扇形AOC+S_△AOD-S_△COD，
∵∠AOB=∠BOC=90°，
∴S_扇形AOC=S_扇形BOC，
∵OA=OB，
∴S_△BOD=S_△AOD，
∴S₁-S₂=2S_△COD=2×32=64，
即由

BC

、CD、DB围成的图形面积比由

AC

、CD、DA围成的图形面积大64．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、扇形的面积公式和三角形的面积公式．