Question

【题目】已知点O在△ABC内，且知OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作直线EF分别交AB、AC于E、F．

（1）如图1，已知EF∥BC．

①若∠A＝76°，请直接写出∠BOE+∠COF的度数；

②猜想∠BOE、∠COF与∠A之间有怎样的数量关系？写出结论，不用证明

（2）直线EF绕点O旋转到如图2的位置时（EF与BC不平行），那么上面（1）②中猜想的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）当直线EF绕点O旋转到如图3的位置时（点E在AB的延长线上），请直接写出∠BOE、∠COF与∠A之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①52°；②∠BOE+∠COF＝90°﹣∠A，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠COF﹣∠BOE＝90°﹣∠A

【解析】

（1）①根据平行线的性质和三角形内角和定理进行计算；

②用①中的方法进行推导，同样依据平行线的性质和三角形内角和定理得出角的关系；
（2）根据三角形内角和定理以及平角的性质即可证得∠BOE+∠COF=90°-∠A；
（3）根据三角形内角和定理以及平角的定义即可证得∠COF-∠BOE=90°-∠A.

（1）①如图1，∵EF∥BC，

∴∠BOE＝∠1，∠COF＝∠2，

∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB

∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，

∴∠BOE+∠COF＝∠1+∠2＝90°﹣∠A＝90°﹣＝52°；

②猜想∠BOE+∠COF＝90°﹣∠A，

证明：∵EF∥BC，

∴∠BOE＝∠1，∠COF＝∠2，

∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB

∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，

∴∠BOE+∠COF＝∠1+∠2＝90°﹣∠A；

（2）成立．

证明：如图2，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，

∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A

∵∠BOE+∠COF+∠3＝∠1+∠2+∠3＝180°

∴∠BOE+∠COF＝∠1+∠2＝90°﹣∠A；

（3）解：如图3，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，

∴∠BOC＝180°﹣∠ABC+∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°+∠A，

∵∠BOC﹣∠BOE+∠COF＝180°，

∴∠COF﹣∠BOE＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；