. 如图1,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(-2,),且P(,-2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.
(1)设正比例函数解析式为,将点M(,)坐标代入得,所以正比例函数解析式为
同样可得,反比例函数解析式为
(2)当点Q在直线DO上运动时,
设点Q的坐标为,
于是,
而,
所以有,,解得
所以点Q的坐标为和
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OP=CQ,OQ=PC,
而点P(,)是定点,所以OP的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值.
因为点Q在第一象限中双曲线上,所以可设点Q的坐标为,
由勾股定理可得,
所以当即时,有最小值4,
又因为OQ为正值,所以OQ与同时取得最小值,
所以OQ有最小值2.
由勾股定理得OP=,所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
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