Question

如图，一元二次方程x²-2x-3=0的两根x₁，x₂是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点A、B的横坐标，此抛物线与y轴的正半轴交于点C．
（1）求A、B两点的坐标，并写出抛物线的对称轴；
（2）设点B关于点A的对称点为B′．问：是否存在△BCB′为等腰三角形的情形？若存在，请求出所有满足条件c的值；若不存在，请直接作否定的判断，不必说明理由．

Answer 1

解：（1）∵解一元二次方程x²-2x-3=0的两根x₁=-1，x₂=3，
∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），
抛物线的对称轴x=1；

（2）由已知得B′（-5，0），C（0，c）且C为y轴上的点，B′O＞BO，则不可能有
CB′=CB的情形；
若BB′=BC，则有8=，则c=或-（舍去），∴c=；
若BB′=B′C，则有8=，则c=或-（舍去），∴c=，
∴存在满足上述条件的点．
分析：（1）易得一元二次方程的两根，那么就得到了A、B两点的坐标，抛物线的对称轴为两个交点横坐标的和的一半；
（2）注意两条边相等应分情况探讨．
点评：主要考查二次函数与一元二次方程的关系和构成三角形的判定法．