Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED⊥AB，交AB于点H，交AC于点F．过点C的切线交ED的延长线于点P．
（1）求证：PC=PF；
（2）在劣弧AC上有一点D，满足AD²=DE•DF，连接DB．若，AH=4，求HF的长度．

Answer 1

解：（1）连接BC，
∵AB、AC分别是⊙O的直径和弦，弦ED⊥AB，
∴∠BCA=90°，∠PCA=∠CBA，
∴∠CBA=∠HFA，
∵∠PFC=∠HFA，
∴∠CBA=∠PFC，
∴∠PCA=∠PFC，
∴PC=PF，

（2）连接BD，AE，
∵AB为直径，
∴BD⊥AD，
∵DE⊥AB，
∴AD²=AH•AB，
∵，
∴AD：BD=1：2，
∵AH=4，
∴AD=4，
∴DH=8，
∴DE=16，
∵AD²=DE•DF，
∴DF=5，
∵，∠ADF=∠EDA，
∴△FDA∽△ADE，
∵△ADE为等腰三角形，
∴△FDA也为等腰三角形，
∴DF=AF=5，
∴HF=3．
分析：（1）连接BC，由题意可推出∠PCA=∠CBA，结合图形可知∠CBA=∠PFC，推出∠PCA=∠PFC，即PC=PF；
（2）连接BD，AE，根据题意，结合射影定理推出AD的长度，既而推出DH的长度和DE的长度，根据足AD²=DE•DF，便可得DF的长度，通过证明△FDA∽△ADE，可知DF=AF=5，根据勾股定理推出FH=3．
点评：本题主要考查切线的性质、锐角三角函数、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、射影定理、垂径定理、圆周角定理等知识点的综合应用，关键在于根据已知条件作好辅助线，求证相关的三角形相似即可．