Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-x²+bx+c，点E为第二象限内抛物线上一动点，连接AE，BE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△ABE面积最大时，求点E的坐标，并求出此时△ABE的面积；
（3）当∠EAB=∠OAB时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出直线与坐标轴交点，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先设E（x，-x²-$\frac{7}{2}$x+2），则D（x，$\frac{1}{2}$x+2），进而表示出△ABE的面积，进而求出最值即可；
（3）根据题意得出M点坐标，进而求出直线AM的解析式，进而利用一次函数与二次函数交点求法得出E点坐标．

解答 解：（1）在y=$\frac{1}{2}$x+2中   
令x=0，y=2；令y=0，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，2），
把A，B两点分别代入y=-x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{7}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴所求抛物线的解析式为：y=-x²-$\frac{7}{2}$x+2；
                        
（2）如图1，作EH⊥x轴，交AB于点D，设E（x，-x²-$\frac{7}{2}$x+2），则D（x，$\frac{1}{2}$x+2），
故S_△ABE=$\frac{1}{2}$DE×AO=$\frac{1}{2}$×DE×4
=2DE
=2[-x²-$\frac{7}{2}$x+2-（$\frac{1}{2}$x+2）]
=-2x²-8x
∵-$\frac{b}{2a}$=-2，
∴当x=-2时，S_△ABE最大=8，
此时点E（-2，5）；

（3）如图2，作BM⊥AB交直线AE于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，
∵AO=4，OB=2，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
 又∵∠EAB=∠BAO，
∴tan∠EAB=tan∠BAO=$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
又∵∠MBN=∠BAO，
∴tan∠MBN=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴MN=1，BN=2，
∴ON=4，
∴点M的坐标为：M（-1，4）．
又∵A（-4，0），
∴设直线AM的解析式为：y=kx+b（k≠0），把A（-4，0），N（-1，4）分别代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
故所求直线AM的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}}\\{y=-{x}^{2}-\frac{7}{2}x+2}\end{array}\right.$，
则6x²+29x+20=0，
故（x+4）（6x+5）=0，
解得：x₁=-4（不合题意舍去），₂=-$\frac{5}{6}$，
把x=-$\frac{5}{6}$代入y=-x²-$\frac{7}{2}$x+2中，
故y=$\frac{38}{9}$，则点E（-$\frac{5}{6}$，$\frac{38}{9}$）．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数以及二次函数解析式以及函数交点坐标求法等知识，利用数形结合得出M点坐标是解题关键．