Question

【题目】如图，AC是ABCD的对角线，∠BAC＝90°，ABC的边AB，AC，BC的长是三个连续偶数，E，F分别是边AB，BC上的动点，且EF⊥BC，将BEF沿着EF折叠得到PEF，连接AP，DP．若APD为直角三角形时，BF的长为_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

设直角三角形ABC的三边长分别为x﹣2、x、x+2，利用勾股定理可得（x+2）2＝x2+（x﹣2）2，解方程即可求出三边长为6，8，10．分三种情况：①当∠PAD＝90°，由平行四边形的性质得出CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，AD∥BC，证明△ABP∽△CBA，求出BP＝，由轴对称的性质即可得出结果；②∠APD＝90°，当点P与C重合时，得出该情况不成立；③当点P与C不重合时，∠APD＝90°，作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，BF＝．

解：设直角三角形ABC的三边长分别为x﹣2、x、x+2，根据题意得：

（x+2）2＝x2+（x﹣2）2，

解得x1＝0（舍去），x2＝8．

所以斜边长BC为x+2＝10．

∴AB＝6，AC＝8，

分三种情况：

①当∠PAD＝90°，如图1所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，AD∥BC，

∴∠APB＝∠PAD＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△ABP∽△CBA，

∴，即，

解得：BP＝，

∵EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，

∴BF＝PF＝BP＝；

②当∠APD＝90°时，点P与C重合时，如图2所示：

∵AB∥CD，

∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90°，

∵E在AB上，E和A重合，而AB≠AC，

则△BEF与△PEF关于直线EF不对称，

∴该情况不存在；

③当点P与C不重合时，∠APD＝90°，如图3所示：

作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，BF＝；

综上所述，若△APD是直角三角形，则BF的长为或；

故答案为：或．