Question

已知a、b、c为△ABC的三边，且方程（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=0有两个相等的实根，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：首先整理成一般形式，根据根的判别式的意义得到△=0，进一步整理利用非负数的性质得出三边关系，判定三角形的形状即可．

解答：解：（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=0，
即3x²-2（a+b+c）x+ab+bc+ac=0，
△=[-2（a+b+c）]²-12（ab+bc+ac）
=4a²+4b²+4c²-4ab-4ac-4bc
=2（a-b）²+2（b-c）²+2（a-c）²
=0，
所以a-b=0，b-c=0，a-c=0
即a=b=c，
三角形ABC为等边三角形．

点评：题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．