Question

2．⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE是⊙O的切线交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE⊥CE；
（2）若BC=$\sqrt{5}$，⊙O的半径为$\frac{5}{2}$，求线段CD的长度．

Answer 1

分析 （1）首先利用全等三角形的判定得出△BOD≌△BOA（SSS），进而得出OB∥DE，再求出∠E=90°即可得出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△DEB，进而得出DE，BE的长，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接OB，OD，
在△BOD和△BOA中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OB}\\{OD=OA}\\{BD=AB}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△BOA（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
又∵∠CDB=∠A，∠OBA=∠A，
∴∠DBO=∠CDB，
∴OB∥DE，
∴∠E+∠EBO=180°，
∵BE为⊙O的切线，
∴OB⊥BE，
∴∠EBO=90°，
∴∠E=90°，
∴BE⊥CE；

（2）解：在Rt△ABC中，
∵AC=2OA=5，BC=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BD=BA=2$\sqrt{5}$，
∵∠ABC=∠E=90°，∠BAC=∠BDE，
∴△ABC∽△DEB，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{BC}{BE}$，
∴DE=4，BE=2，
在Rt△BCE中，
CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=1，
∴CD=DE-CE=3．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ABC∽△DEB是解题关键．