Question

6．设二次函数f（x）满足f（x-2）=f（-x-2），且图象与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为2$\sqrt{2}$，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析 设二次函数表达式为f（x）=ax²+bx+c，根据题意，对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-2，c=1，|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$，求出a、b、c即可．

解答 解：∵f（x-2）=f（-x-2），
∴对称轴x=$\frac{（x-2）+（-x-2）}{2}$=-2，
∵图象与y轴交于点（0，1），
∴c=1，
∵在x轴上截得的线段长为2$\sqrt{2}$，
∴|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$，
即|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-4×\frac{1}{a}}$=$\sqrt{16-\frac{4}{a}}$=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=2，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2x+1．

点评 本题主要考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数解析式，熟练的运用二次函数的图象与性质是解决问题的关键．