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6.如图,抛物线y=-x2+4x+2的顶点为D,E(4,m)在抛物线上,点Q在x轴上,点P在抛物线上,当以D,E,P,Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形时,求点P的坐标.

分析 求得D、E的坐标,根据题意P的纵坐标为D和E的纵坐标的差,把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P的坐标.

解答 解:作EF∥x轴,DF⊥EF于F,
∵y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,
∴顶点D的坐标(2,6),
∵E(4,m)在抛物线上,
∴m=-42+4×4+2=2,
∴E(4,2),
∴DF=6-2=4,EF=4-2=2,
∵点Q在x轴上,点P在抛物线上,以D,E,P,Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形,
∴P的纵坐标为±4,
把y=4代入y=-x2+4x+2得,4=-x2+4x+2,
解得x=2±$\sqrt{2}$;
把y=-4代入y=-x2+4x+2得,-4=-x2+4x+2,
解得x=2±$\sqrt{10}$;
∴P的坐标为(2+$\sqrt{2}$,4)或(2-$\sqrt{2}$,4)或(2+$\sqrt{10}$,-4)或(2-$\sqrt{10}$,-4).

点评 本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,以及平行四边形的性质等,综合性较强,难度较大.

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