Question

6．如图，抛物线y=-x²+4x+2的顶点为D，E（4，m）在抛物线上，点Q在x轴上，点P在抛物线上，当以D，E，P，Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 求得D、E的坐标，根据题意P的纵坐标为D和E的纵坐标的差，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P的坐标．

解答 解：作EF∥x轴，DF⊥EF于F，
∵y=-x²+4x+2=-（x-2）²+6，
∴顶点D的坐标（2，6），
∵E（4，m）在抛物线上，
∴m=-4²+4×4+2=2，
∴E（4，2），
∴DF=6-2=4，EF=4-2=2，
∵点Q在x轴上，点P在抛物线上，以D，E，P，Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形，
∴P的纵坐标为±4，
把y=4代入y=-x²+4x+2得，4=-x²+4x+2，
解得x=2±$\sqrt{2}$；
把y=-4代入y=-x²+4x+2得，-4=-x²+4x+2，
解得x=2±$\sqrt{10}$；
∴P的坐标为（2+$\sqrt{2}$，4）或（2-$\sqrt{2}$，4）或（2+$\sqrt{10}$，-4）或（2-$\sqrt{10}$，-4）．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质等，综合性较强，难度较大．