如图.△ABC是等腰直角三角形.∠BAC=90°.AB=AC.B(3.5).抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c交x轴于点C.D两点.且经过点B．(1)求抛物线的表达式,(2)在抛物线上是否存在点F.使得△ACF的面积等于5.若存在.求出点F的坐标,若不存在.说明理由,在抛物线上.连接CM.求出在坐标轴的点P.使得△PCM是以∠PCM为顶角以CM为腰的等腰三角形.请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，B（3，5），抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c交x轴于点C，D两点，且经过点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点F，使得△ACF的面积等于5，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点M（4，k）在抛物线上，连接CM，求出在坐标轴的点P，使得△PCM是以∠PCM为顶角以CM为腰的等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

分析（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）利用△ACF的面积等于5直接建立方程求出F点的纵坐标，代入抛物线解析式解方程即可；
（3）先求出CM=3$\sqrt{5}$，再分点P在x轴和y轴上，用CM=CP求出点P的坐标．

解答（1）∵B（3，5），
∴OA=3，AB=5；

∵AB=AC，
∴OC=AC-OA=5-3=2，
即点C的坐标是（-2，0），
∵点C（-2，0）和点B（3，5）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c上
∴将其代入得$\left\{\begin{array}{l}{0=-2-2b+c}\\{5=\frac{9}{2}a+3b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式是y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5，
（2）假设抛物线上存在点F使得S_△ACF=5，则设点F的坐标是（a，b）
∵$\frac{1}{2}$AC|b|=5，
∴$\frac{1}{2}$×5|b|=5，
解得b=±2，
将F（a，2）和F（a，-2）分别代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5中得
-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+5=2，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+5=-2
解得a₁=$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$ a₂=$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$ a₃=$\frac{3+\sqrt{65}}{2}$ a₄=$\frac{3-\sqrt{65}}{2}$
所以符合条件的点F有四个，它们分别是F₁（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，2），F₂（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，2），F₃（$\frac{3+\sqrt{65}}{2}$，-2）F₄（$\frac{3-\sqrt{65}}{2}$，-2），
（3）点M（4，k）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5的图象上，
∴k=3，
∴M（4，3），
∵C（-2，0），
∴CM=3$\sqrt{5}$
①当点P在x轴上时，设P（p，0），
∴CP=|p+2|，
∵△PCM是以∠PCM为顶角以CM为腰的等腰三角形．
∴CM=CP，
∴|p+2|=3$\sqrt{5}$，
∴p=-2±3$\sqrt{5}$，
∴P₁（-3$\sqrt{5}$-2，0）P₂ （3$\sqrt{5}$-2，0），
②当点P在y轴上时，设P（0，h），
∴PC=$\sqrt{{h}^{2}+4}$=3$\sqrt{5}$，
∴h=±$\sqrt{41}$，
∴P₃（0，$\sqrt{41}$） P₄（0，-$\sqrt{41}$）．
符合条件的P点有四个，它们分别是P₁（-3$\sqrt{5}$-2，0）P₂ （3$\sqrt{5}$-2，0），P₃（0，$\sqrt{41}$） P₄（0，-$\sqrt{41}$）．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是确定出抛物线的解析式，难点是分类讨论得出点P的坐标．

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