如图,以矩形ABCD的顶点A为原点,AD所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.点D的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),点F在对角线AC上运动(点F不与点A、C重合),过点F分别作x轴、y轴的垂线,垂足为G、E.设四边形BCFE的面积为S1,四边形CDGF的面积为S2,△AFG的面积为S3.
(1)试判断S1、S2,的关系,并加以证明;
(2)当S3:S1=1:3时,求点F的坐标;
(3)如图,在(2)的条件下,把△AEF沿对角线AC所在直线平移,得到△A’E’F’,且A’、F’两点始终在直线AC上,是否存在这样的点E’,使点E’到x轴的距离与到y轴的距离比是5:4.若存在,请求出点E’的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)S1=S2;(2)F(4,3);(3)存在满足条件的E′坐标分别是( 6,) (,)
解析试题分析:(1)两者应该相等,由于四边形ADCB是矩形,那么对角线平分矩形的面积,同理OF也平分矩形AEFG的面积,由此就不难得出S1=S2了;
(2)S3:S2=1;3,也就能得出S△AGF:S△ADC=1:4,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可得出OF:OC=1:2,即F为OC中点.由此可根据C、D的坐标直接求出F的坐标;
(3)由于A′F′始终在OC上,因此EE′所在的直线必平行于OC,可先求出直线EE′的解析式,然后根据E′横、纵坐标的比例关系来设出E′的坐标,代入直线EE′中即可求出E′A的坐标.
(1)S1=S2
∵FE⊥y轴,FG⊥x轴,∠BAD=90°,
∴四边形AEFG是矩形.
∴AE=GF,EF=AG.
∴S△AEF=S△AFG,
同理S△ABC=S△ACD.
∴S△ABC-S△AEF=S△ACD-S△AFG.
即S1=S2.
(2)∵FG∥CD,
∴△AFG∽△ACD.
∵CD=BA=6,AD=BC=8,
∴FG=3,AG=4.
∴F(4,3);
(3)∵△A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的,且A′、F′两点始终在直线AC上,
∴点E′在过点E(0,3)且与直线AC平行的直线l上移动.
∵直线AC的解析式是y=x,
∴直线L的解析式是y=x+3.
设点E′为(x,y),
∵点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5:4,
∴|y|:|x|=5:4.
∴E′(6,7.5);
∴存在满足条件的E′坐标分别是( 6,) (,).
考点:动点问题的综合题
点评:此类问题难度较大,在中考中比较常见,一般在压轴题中出现,需特别注意.
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科目:初中数学 来源:2011年初中毕业升学考试(四川成都卷)数学解析版 题型:解答题
(2011•成都)已知:如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心,OA长为半径作⊙O,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥AC,垂足为K.过D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H.
(1)求证:AE=CK;
(2)如果AB=a,AD=(a为大于零的常数),求BK的长:
(3)若F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH的长.
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