Question

如图，直线AB交x轴于点A（2，0），交抛物线y=ax²于点B（1，

3

），点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D．
（1）填空：a=

 

，△OAB是

 

三角形．
（2）连接BC与BD，求四边形OCBD的面积；
（3）当x＞0时，在直线OC和抛物线y=ax²上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点B的坐标代入抛物线可以求出a的值．（2）利用两点间距离公式求出线段OA，OB以及AB的长，判断△OAB的形状．（2）结合图形求出点C，D的坐标，判断四边形OCBD是平行四边形，然后求出平行四边形的面积．
（3）从等腰梯形，直角梯形和平行四边形等几种情况直接写出点P的坐标．

解答：解：（1）把点B的坐标代入抛物线有：a=

3

．
OA=2，OB=

12+ 3 2

=2，AB=

(2-1)2+  3 2

=2，
∴OA=OB=AB，
所以△OAB是等边三角形．
故答案是：a=

3

．△OAB是等边三角形；

（2）∵点C到△OAB各个顶点的距离相等，
∴点C是△OAB的外心，
∴C（1，

3

3

）
∵B（1，

3

），
∴BC=

2 3

3

．
在直角△OAD中，OA=2，∠OAD=30°，
∴OD=

2 3

3

．
所以四边形OCBD是平行四边形．
S_OCBD=OD×1=

2 3

3

．
因此OCBD的面积为

2 3

3

；

（3）当点P（

2

3

，

2 3

9

），点Q（

2

3

，

4 3

9

）时，DOPQ是等腰梯形．
当点P（

6

3

，

2

3

），点Q（

6

3

，

2 3

3

）时，DOPQ是直角梯形．
∴P1(

2

3

，

2

9

3

)，P₂（

6

3

，

2

3

）．

点评：本题考查的是抛物线的综合题，（1）把点的坐标代入抛物线，求出字母系数a的值，求三角形三边的长确定三角形的形状．（2）根据点C是三角形的外心，判断四边形OCBD是平行四边形，然后求出平行四边形的面积．（3）根据特殊梯形写出点P的坐标．