Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；
（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；
（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系为：∠AFC=∠ACB-∠DAC，理由为：由四边形ADEF为正方形，得到AD=AF，且∠FAD为直角，得到∠BAC=∠FAD，等式左右两边都加上∠CAD得到∠BAD=∠CAF，再由AB=AC，AD=AF，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，又∠ACB为三角形ACD的外角，利用外角的性质得到∠ACB=∠ADB+∠DAC，变形后等量代换即可得证；
（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．
解答：解：（1）关系：∠AFC=∠ACB-∠DAC，…（2分）
证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠FAD=90°，
∵∠BAC=90°，∠FAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，…（3分）
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），…（4分）
∴∠AFC=∠ADB，
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB=∠ADB+∠DAC，…（5分）
∴∠ADB=∠ACB-∠DAC，
∵∠ADB=∠AFC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC；…（6分）

（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC满足的关系式为：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°，…（8分）
证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
又∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠DAB=∠FAC，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ADB=∠AFC，
在△ADC中，∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°，
则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．
点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键．