Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=

3

，∠A=30°．AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△CDE的周长为

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=

3

，可求得∠A的度数，从而证得△BCD是等边三角形，继而求得答案．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=

3

，
∴tanA=

BC

AC

=

3

3

，
∴∠A=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠ACD=∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD=BC=1，DE=

1

2

CD=

1

2

，CE=CD•cos∠ACD=

3

2

，
∴△CDE的周长为

3+ 3

2

．
故答案为

3+ 3

2

．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．