Question

4．在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高线，DE⊥AC于点E．

（1）若AD=BC，求证：DE=DB；
（2）若G是DE的中点，延长AG交BC于F．求证：F是BC的中点；
（3）在（2）的条件下，延长CG交AB于H，使AH=BH，当AC=4时，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质得出∠BAC=∠DCB，由AAS证明△ADE≌△CBD，即可得出∴DE=DB；
（2）证出DE∥BC，由平行线分线段成比例定理得出$\frac{DG}{BF}=\frac{AG}{AF}$，$\frac{AG}{AF}=\frac{GE}{FC}$，证出$\frac{DG}{BF}=\frac{GE}{FC}$，再由已知条件即可得出结论；
（3）连接HF，过H作HM⊥AC于M，连接DM，如图所示：由平行线证出AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=2，得出DM=$\frac{1}{2}$AC=2，由三角形中位线定理得出HF∥AC，HF=$\frac{1}{2}$AC，由平行线得出比例式$\frac{AG}{GF}=\frac{AC}{HF}$=2，求出AE=$\frac{2}{3}$AC=$\frac{8}{3}$，得出ME=AE-AM=$\frac{2}{3}$，在Rt△DEM中，由勾股定理求出DE即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD为AB边上的高线，
∴∠CDB=90°，
∴∠DCB+∠B=90°，
∴∠BAC=∠DCB，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=∠CDB=90°，
在△ADE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DCB}&{\;}\\{∠DEA=∠CDB}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBD（AAS），
∴DE=DB；
（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴$\frac{DG}{BF}=\frac{AG}{AF}$，$\frac{AG}{AF}=\frac{GE}{FC}$，
∴$\frac{DG}{BF}=\frac{GE}{FC}$，
∵G是DE的中点，
∴DG=GE，
∴BF=FC，
∴F是BC的中点；              
（3）解：连接HF，过H作HM⊥AC于M，连接DM，如图所示：
∵HM⊥AC，BC⊥AC，
∴HM∥BC，
∵AH=BH，
∴AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∴DM=$\frac{1}{2}$AC=2，
∵F是BC中点，
∴HF∥AC，HF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{AG}{GF}=\frac{AC}{HF}$=2，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{2}{3}$AC=$\frac{8}{3}$，
∴ME=AE-AM=$\frac{8}{3}$-2=$\frac{2}{3}$，
在Rt△DEM中，DE=$\sqrt{D{M}^{2}-M{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．