【题目】如图,平面直角坐标中,把矩形OABC沿对角线OB所在的直线折叠,点A落在点D处,OD与BC交于点E.OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+18=0的两个根(OA>OC).
(1)求A、C的坐标.
(2)直接写出点E的坐标,并求出过点A、E的直线函数关系式.
(3)点F是x轴上一点,在坐标平面内是否存在点P,使以点O、B、P、F为顶点的四边形为菱形?若存在请直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(6,0),C(0,3);(2)E(,3),y=﹣x+;(3)满足条件的点P坐标为(6﹣3,3)或(6+3,3)或(,3)或(6,﹣3).
【解析】
(1)解方程求出OA、OC的长即可解决问题;
(2)首先证明EO=EB,设EO=EB=x,在Rt△ECO中,EO2=OC2+CE2,构建方程求出x,可得点E坐标,再利用待定系数法即可解决问题;
(3)分情形分别求解即可解决问题;
(1)由x2﹣9x+18=0可得x=3或6,
∵OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+18=0的两个根(OA>OC),
∴OA=6,OC=3,
∴A(6,0),C(0,3).
(2)如图1中,
∵OA∥BC,
∴∠EBC=∠AOB,
根据翻折不变性可知:∠EOB=∠AOB,
∴∠EOB=∠EBO,
∴EO=EB,设EO=EB=x,
在Rt△ECO中,∵EO2=OC2+CE2,
∴x2=32+(6﹣x)2,
解得x=,
∴CE=BC﹣EB=6﹣=,
∴E(,3),
设直线AE的解析式为y=kx+b,则有,
解得,
∴直线AE的函数解析式为y=﹣x+.
(3)如图,OB==3.
①当OB为菱形的边时,OF1=OB=BP1=3=,故P1(6﹣3,3),
OF3=P3F3=BP3=3,故P3(6+3,3).
②当OB为菱形的对角线时,∵直线OB的解析式为y=x,
∴线段OB的垂直平分线的解析式为y=﹣2x+,
可得P2(,3),
③当OF4问问对角线时,可得P4(6,﹣3)
综上所述,满足条件的点P坐标为(6﹣3,3)或(6+3,3)或(,3)或(6,﹣3).
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【题目】在平面直角坐标系中,直线与双曲线相交于点.
(1)求反比例函数的表达式:
(2)画出直线和双曲线的示意图;
(3)直接写出的解集______;
(4)若点是坐标轴负半轴上一点,且满足.直接写出点的坐标______.
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【题目】小明利用课余时间回收废品,将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本,要求共花钱不超过28元,且购买的笔记本的总页数不低于340页,两种笔记本的价格和页数如下表.为了节约资金,小明应选择哪一种购买方案?请说明理由.
大笔记本 | 小笔记本 | |
价格(元/本) | 6 | 5 |
页数(页/本) | 100 | 60 |
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【题目】有一个不透明口袋,装有分别标有数字1,2,3,4的4个小球(小球除数字不同外,其余都相同),另有3张背面完全一样、正面分别写有数字1,2,3的卡片.小敏从口袋中任意摸出一个小球,小颖从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张,然后计算小球和卡片上的两个数的积.
(1)请你用列表或画树状图的方法,求摸出的这两个数的积为6的概率;
(2)小敏和小颖做游戏,她们约定:若这两个数的积为奇数,小敏赢;否则,小颖赢.你认为该游戏公平吗?为什么?
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【题目】有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上洗均匀.
(1)随机抽取一张卡片,则抽到数字“2”的概率是___________;
(2)从四张卡片中随机抽取2张卡片,请用列表或画树状图的方法求抽到“数字和为5”的概率.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,P是BC边上一点,将△ABP绕点A逆时针旋转50°,点P旋转后的对应点为点P′.
(1)画出旋转后的三角形;
(2)连接PP′,若∠BAP=20°,求∠PP′C的度数.
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【题目】威丽商场销售A、B两种商品,售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元;售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元.
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元?
(2)由于需求量大,A、B两种商品很快售完,威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件,如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么威丽商场至少需购进多少件A种商品?
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【题目】如图,已知矩形的边,,点、分别是、边上的动点.
(1)连接、,以为直径的交于点.
①若点恰好是的中点,则与的数量关系是______;
②若,求的长;
(2)已知,,是以为弦的圆.
①若圆心恰好在边的延长线上,求的半径:
②若与矩形的一边相切,求的半径.
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【题目】如图1,AB、CD是圆O的两条弦,交点为P.连接AD、BC. OM⊥ AD,ON⊥BC,垂足分别为M、N.连接PM、PN.
图1 图2
(1)求证:△ADP ∽△CBP;
(2)当AB⊥CD时,探究PMO与PNO的数量关系,并说明理由;
(3)当AB⊥CD时,如图2,AD=8,BC=6, ∠MON=120°,求四边形PMON的面积.
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