Question

5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点Q从点A出发，沿着AB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着对角线BD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为圆心，PB长为半径的⊙P与BD、AB的另一个交点分别为E、F，连结EF、QE． 
（1）填空：FB=$\frac{6}{5}$t（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，点Q与点F相遇？
（3）当线段QE与⊙P有两个公共点时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）只要证明EF∥AD，可得$\frac{BF}{BA}$=$\frac{BE}{BD}$，即$\frac{BF}{6}$=$\frac{2t}{10}$，可得BF=$\frac{6}{5}$t．
（2）当点Q与点F相遇时，AQ+BF=AB，可得t+$\frac{6}{5}$t=6，解方程即可．
（3）求出直线QE与⊙P相切时的时间t，观察图象即可解决问题．

解答 解：（1）∵BE是⊙P的直径，四边形ABCD是矩形，
∴∠EFB=∠A=90°
在Rt△ABC中，∵AD=8，AB=6，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵EF∥AD，
∴$\frac{BF}{BA}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{BF}{6}$=$\frac{2t}{10}$，
∴BF=$\frac{6}{5}$t．
给答案为$\frac{6}{5}$t．

（2）当点Q与点F相遇时，AQ+BF=AB，
∴t+$\frac{6}{5}$t=6，
∴t=$\frac{30}{11}$s，
∴当t=$\frac{30}{11}$s时，点Q与点F相遇．

（3）当直线QE与⊙P相切时，
∵∠BEQ=∠A=90°，∠QBE=∠ABD，
∴△QBE∽△DBA，
∴$\frac{BQ}{BD}$=$\frac{BE}{BA}$，
∴$\frac{6-t}{10}$=$\frac{2t}{6}$，
∴t=$\frac{18}{13}$s，
∵线段QE与⊙P有两个公共点，
∴t的取值范围：$\frac{18}{13}$＜t≤$\frac{30}{11}$．

点评 本题考查圆综合题，切线的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型．