练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；
    （3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．
    考点：二次函数综合题
    专题：代数几何综合题,压轴题
    分析：（1）根据抛物线的交点式可求此抛物线的解析式；
    （2）直线BC与对称轴直线l：x=-1的交点即为所求使△PAC的周长最小的点P的坐标；
    （3）讨论：当以AB为对角线，利用NA=MB和四边形ANBM为平行四边形，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到MN=AB=4，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标．
    解答：解：（1）直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，
    当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，
    则A点坐标为（1，0）；
    当x=0时，y=3，
    则C点坐标为（0，3）；
    抛物线的对称轴为直线x=-1，
    则B点坐标为（-3，0）；
    把C（0，3）代入y=a（x-1）（x+3）得3=-3a，
    解得a=-1，
    则此抛物线的解析式为y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3；

    （2）点A关于直线l的对称点是点B（-3，0）
    如图1，连接BC，交对称轴于点P，则此时△PAC周长最小，
    设直线BC的关系式为：y=mx+n，
    把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得
    -3m+n=0
    n=3
    ，
    解得
    m=1
    n=3
    ，
    ∴直线bC的关系式为y=x+3，
    当x=-1时，y=-1+3=2，
    ∴P点坐标为（-1，2）；

    （3）①当以AB为对角线，如图2，
    ∵四边形AMBN为平行四边形，
    A点横坐标为1，N点横坐标为0，B点横坐标为-3，
    ∴M点横坐标为-2，
    ∴M点纵坐标为y=-4+4+3=3，
    ∴M点坐标为（-2，3）；

    ②当以AB为边时，如图3，
    ∵四边形ABMN为平行四边形，
    ∴MN=AB=4，即M1N1=4，M2N2=4，
    ∴M1的横坐标为-4，M2的横坐标为4，
    对于y=-x2-2x+3，
    当x=-4时，y=-16+8+3=-5；
    当x=4时，y=-16-8+3=-21，
    ∴M点坐标为（-4，-5）或（4，-21）．
    综上所述，M点坐标为（-2，3）或（-4，-5）或（4，-21）．
    点评：本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x-
    b
    2a
    ）2+
    4ac-b2
    4a
    ，抛物线的对称轴为x=-
    b
    2a
    ，当a＞0，y最小值=
    4ac-b2
    4a
    ；当a＜0，y最大值=
    4ac-b2
    4a
    ；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特殊四边形的判定与性质要熟练运用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    下列化简，正确的是（　　）
    A、-[-（-10）]=-10
    B、-（-3）=-3
    C、-（+5）=5
    D、-[-（+8）]=-8

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    按图填空，并注明理由．
    已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠E．
    求证：AD∥BE．
    证明：∵∠1=∠2 （已知）
    ∴
     
    ∥
     

    （
     
     ）
    ∴∠E=∠
     

    （
     
     ）
    又∵∠E=∠3 （ 已知 ）
    ∴∠3=∠
     

    （
     
     ）
    ∴AD∥BE．
    （
     
     ）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在锐角△ABC中，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

    （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1B与∠CC1A1的度数；
    （2）如图2，若∠BAC=75°，BC=6，连接AA1，CC1．在旋转过程中，旋转角α（0°＜α＜360°）为多少度数时AA1⊥BC1，并求出此时△CBC1的面积；
    （3）如图3，若AB=5，BC=6，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的任意一点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    若a2-a-1=0，求a2+
    1
    a2
    的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的大小．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=
    k
    x
    的图象交于M、N两点．
    （1）求反比例函数与一次函数的解析式；
    （2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们在学习的过程中曾经听过两个重要的等积转化的方法，分别是“等底同高”、“同底等高”，下面进行探索之旅．
    认识基本图形
    （1）如图1，画一线段将△ABC分成两个面积相等的三角形，并用数学语言描述此线段；
    （2）如图2，找一点D，使得△DBC的面积等于△ABC的面积，点D与点A在BC的同侧，用数学语言描述点D的位置．
    利用基本图形
    请利用上面的基本图形与经验，以下两个问题中任选一个作答．
    （1）如图3，四边形ABCD，构造一个三角形满足面积与四边形ABCD面积相等，并且三角形满足至少有一个顶点是四边形ABCD的顶点．简要描述作图的过程．
    （2）如图3，画一线段将四边形ABCD的面积分成两块相等的面积，简要描述作图的过程．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知点M（3a-8，a-1）．
    （1）若点M在一、三象限角平分线上，则点M的坐标为
     
    ；
    （2）若N点坐标为 （3，-6），并且直线MN∥x轴，则点M的坐标为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案