Question

已知抛物线C₁的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C₁向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C₂．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m²（m＞0）．

（1）求抛物线C₁的解析式的一般形式；
（2）当m=2时，求h的值；
（3）若抛物线C₁的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C₂交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

Answer 1

解：（1）设抛物线C₁的顶点式形式（a≠0），
∵抛物线过点（0，），∴，解得a=。
∴抛物线C₁的解析式为，一般形式为。
（2）当m=2时，m²=4，
∵BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标为4。
∴，解得x₁=5，x₂=﹣3。
∴点B（﹣3，4），C（5，4）。
∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣5，4）。
设抛物线C₂的解析式为，
则，解得h=5。
（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m²，∴点B、C的纵坐标为m²。
∴，解得x₁=1+2m，x₂=1﹣2m。
∴点C的坐标为（1+2m，m²）。
又∵抛物线C₁的对称轴为直线x=1，∴CE=1+2m﹣1=2m。
∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m²）。
∴。
设抛物线C₂的解析式为，
则，解得h=2m+1。
∴EF=h+m²=m²+2m+1。
∴。

解析试题分析：（1）设抛物线C₁的顶点式形式（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可。
（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C₂的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可。
（3）先把直线AB与x轴的距离是m²代入抛物线C₁的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C₂的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证。