Question

（2013•肇庆一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…，按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为（　　）

• A．5(

  3

  2

  )4024
• B．5(

  3

  2

  )4026
• C．5(

  3

  2

  )2012
• D．5(

  3

  2

  )2013

Answer 1

分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，证△DOA∽△ABA₁，得出

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，求出AB，BA₁，求出边长A₁C=

3

2

5

，求出面积即可；求出第2个正方形的边长是（

3

2

）²×

5

，求出面积，再求出第3个正方形的面积；依此类推得出第2013个正方形的边长，求出面积即可．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∵AB=AD=

22+12

=

5

，
∴BA₁=

1

2

5

，
∴第1个正方形A₁B₁C₁C的边长A₁C=A₁B+BC=

1

2

5

+

5

=

3

2

5

，
面积是（

3

2

5

）²=5×（

3

2

）²=

45

4

，
同理第2个正方形的边长是

3

2

5

+

3

4

5

=

9

4

5

=（

3

2

）²

5

，面积是[（

3

2

）²

5

]²=5×（

3

2

）⁴；）
第3个正方形的边长是（

3

2

）³

5

，面积是5×（

3

2

）⁶；
…，
第2013个正方形的边长是（

3

2

）²⁰¹³×

5

，面积是5×（

3

2

）^2×2013=5×（

3

2

）⁴⁰²⁶，
故选B．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目