Question

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
【小题1】求证：ME = MF．
【小题2】如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．
【小题3】如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．
【小题4】根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．

Answer 1

【小题1】证明：过点Ｍ作ＭＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＭＧ⊥ＡＤ于Ｇ，连接ＡＭ
∵Ｍ是正方形ＡＢＣＤ的对称中心，∴Ｍ是正方形ＡＢＣＤ对角线的交点，
∴ＡＭ平分∠ＢＡＤ，∴ＭＨ＝ＭＧ
在正方形ＡＢＣＤ中，∠Ａ=90°，∵∠MHA=∠MGA=90°∴∠ＨＭＧ=90°，
在正方形ＱＭＮＰ，∠ＥＭＦ=90°∴∠EMF=∠HMG.∴∠EMH=∠FMG，∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE≌△MGF，∴ME=MF.
【小题2】ME=MF。证明：过点M作MH⊥AＢ于H，MG⊥AＤ于G，连接AM，
∵M是菱形ABCD的对称中心，∴M是菱形ABCD对角线的交点，∴AM平分∠BAD，∴MH=MG，∵BC∥AD，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠M=∠B，∴∠M+∠BAD=180°
又∠MHA=∠MGF=90°，在四边形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，∴∠EMF=∠HMG.
∴∠EMH=∠FMG,∵∠MHE=∠MGF,∴△MHE≌△MGF,∴ME=MF。
【小题3】ME=mMF.证明：过点Ｍ作ＭＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＭＧ⊥ＡＤ于Ｇ，
在矩形ABCD中，∠Ａ＝∠Ｂ=90°∴∠EＭF＝∠Ｂ=90°，
又∵∠ＭＨＡ＝∠ＭＧＡ＝９０°，在四边形HMGA中，∴∠ＨＭＧ＝９０°，
∴∠ＥＭＦ＝∠ＨＭＧ，∴∠ＥＭＨ＝∠ＦＭＧ．∵∠ＭＨＥ＝∠ＭＧＦ，
∴△ＭＨＥ∽△ＭＧＦ，∴，
又∵Ｍ是矩形ＡＢＣＤ的对称中心，∴M是矩形ＡＢＣＤ对角线的中点
∴ＭＧ∥ＢＣ，∴ＭＧ＝ＢＣ．同理可得ＭＨ＝ＡＢ，
∵AB = mBC∴ＭＥ＝ｍＭＦ。
【小题4】平行四边形ＡＢＣＤ和平行四边形ＱＭＮＰ中，∠Ｍ＝∠Ｂ，ＡＢ＝ｍＢＤ，
Ｍ是平行四边形ＡＢＣＤ的对称中心，ＭＮ交ＡＢ于Ｆ，ＡＤ交ＱＭ于Ｅ。
则ＭＥ＝ｍＭＦ解析:
略