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(2008•毕节地区)如图所示,已知两点A(-1,0),B(4,0),以AB为直径的半圆P交y轴于点C.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)设弦AC的垂直平分线交OC于D,连接AD并延长交半圆P于点E,相等吗?请证明你的结论;
(3)设点M为x轴负半轴上一点,OM=AE,是否存在过点M的直线,使该直线与(1)中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等?若存在,求出这条直线对应函数的解析式;若不存在.请说明理由.

【答案】分析:(1)本题的关键是求出C点的坐标,可通过构建直角三角形来求解.连接BC,即可根据射影定理求出OC的长,也就得出了C点的坐标,已知了A,B,C三点的坐标后即可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)求弧AC=弧CE,可通过弧对的圆周角相等来证,即证∠EAC=∠ABC,根据等角的余角相等不难得出∠ACO=∠ABC,因此只需证∠DCA=∠DAC即可.由于PD是AC的垂直平分线,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得出DA=DC,即可证得∠DAC=∠DCA,由此可证出弧AC=弧CE.
(3)可先求出M点的坐标,由于OM=AE,因此要先求出AE的长.如果连接PC,设PC与AE的交点为F,那么OF=OM=AE,OF的长可通过证三角形CAO和AFC全等来得出,有了OM的长就能得出M的坐标.可先设出过M于抛物线相交的直线的解析式.然后根据两交点到y轴的距离相等,即横坐标互为相反数,可根据(1)的抛物线的解析式表示出着两个交点的坐标,然后将两交点和M的坐标代入直线的解析式中,可得出一个方程组,如果方程组无解,那么不存在这样的直线,如果有解,可根据方程组的解得出直线的解析式.
解答:解:(1)连接BC
∵AB为直径,
∴∠ACB=90度.
∴OC2=OA•OB
∵A(-1,0),B(4,0),
∴OA=1,OB=4,
∴OC2=4
∴OC=2
∴C的坐标是(0,2)
设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4)
把x=0时,y=2代入上式得
a=-
∴y=-x2+x+2.

(2)=
证明:∵∠ACB=90度.
∴∠CAB+∠ABC=90度.
∵∠CAB+∠ACO=90度.
∴∠ABC=∠ACO.
∵PD是AC的垂直平分线,
∴DA=DC,
∴∠EAC=∠ACO.
∴∠EAC=∠ABC,
=

(3)不存在.
连接PC交AE于点F
=
∴PC⊥AE,AF=EF
∵∠EAC=∠ACO,∠AFC=∠AOC=90°,
AC=CA,
∴△ACO≌△CAF
∴AF=CO=2
∴AE=4
∵OM=AE,
∴OM=2.
∴M(-2,0)
假设存在,设经过M(-2,0)和y=-x2+x+2相交的直线是y=kx+b;
因为交点到y轴的距离相等,所以应该是横坐标互为相反数,
设两横坐标分别是a和-a,则两个交点分别是(a,-a2+a+2)与(-a,-a2-a+2),
把以上三点代入y=kx+b,得
解得a无解,所以不存在这样的直线.
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、垂径定理、三角形全等等重要知识点,综合性强,能力要求较高.考查学生数形结合的数学思想方法.
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