分析 (1)连接OP,由矩形的性质和勾股定理求出AC,证出OP是△ACD的中位线,得出OP∥CD,OP=$\frac{1}{2}$CD=3cm,△AOD的面积=$\frac{1}{2}$AD×OP,△AOD的面积=△OAP的面积+△ODP的面积=$\frac{1}{2}$OA×PE+$\frac{1}{2}$OD×PF=$\frac{1}{2}$(PE+PF)×OA,即可得出PE和PF的值;
(2)连接OP,△AOD的面积=△OAP的面积+△ODP的面积=$\frac{1}{2}$(PE+PF)×OA=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积,即可得出结果.
解答 就:(1)连接OP,如图(1)所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ADC=90°,CD=AB=6cm,OA=OC=OB=OD,AC=BD,
∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10(cm),
∴OA=OD=5cm,
∵P点为AD中点,
∴OP是△ACD的中位线,
∴OP∥CD,OP=$\frac{1}{2}$CD=3cm,
∴∠OPD=90°,
∴OP⊥AD,
∴△AOD的面积=$\frac{1}{2}$AD×OP=$\frac{1}{2}$×8×3=12(cm2),
又∵△AOD的面积=△OAP的面积+△ODP的面积=$\frac{1}{2}$OA×PE+$\frac{1}{2}$OD×PF=$\frac{1}{2}$(PE+PF)×5=12,
∴PE+PF=$\frac{24}{5}$(cm);
(2)连接OP,如图(2)所示:
∵△AOD的面积=△OAP的面积+△ODP的面积=$\frac{1}{2}$OA×PE+$\frac{1}{2}$OD×PF=$\frac{1}{2}$(PE+PF)×OA=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积=$\frac{1}{4}$×8×6=12,
∴PE+PF=$\frac{24}{5}$cm,
点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、三角形面积的计算方法;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
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