Question

2．在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是CE的中点，△BCF和△CDG都是等边三角形，点M为AE的中点，连接FG．
（1）如图1，若点E在AC的延长线上，点M与点C重合，则△FMG是等边三角形（填“是”或“不是”）
（2）将图1中的CE缩短，得到图2．求证：△FMG为等边三角形；
（3）将图2中的CE绕点E顺时针旋转一个锐角，得到图3．求证：△FMG为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）如图1，易证FM=BM=MD=MG，∠FMG=60°，即可得到△FMG是等边三角形；
（2）如图2，易证BD=BC+CD=AM，从而可得MD=AB．由△BCF和△CDG都是等边三角形，可得BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，从而可证到MD=BF，BM=GD，进而可得到△FBM≌△MDG，则有MF=GM，∠BFM=∠DMG，从而可证到∠FMG=60°，即可得到△FMG为等边三角形；
（3）如图3，连接BM、DM，根据三角形中位线定理可得BM∥CE，BM=$\frac{1}{2}$CE=CD，DM∥AC，DM=$\frac{1}{2}$AC=BC．再根据△BCF和△CDG都是等边三角形，可得BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，从而得到BF=BC=DM，BM=CD=GD，∠FBC=∠GDC．由BM∥CE，DM∥AC，可得四边形BCDM是平行四边形，从而得到∠BMD=∠DCB=120°，∠CDM=∠MBC=60°，即可得到∠FBM=∠GDM=120°，即可得到△FBM≌△MDG，则有MF=GM，∠FMB=∠MGD，从而可得∠FMG=∠BMD-∠FMB-∠GMD=∠BMD-∠MGD-∠GMD=60°，即可得到△FMG为等边三角形．

解答 证明：（1）如图1，

∵点B是线段AC的中点，点D是CE的中点，点M为AE的中点，点M与点C重合，
∴AB=BM=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$ME=MD=DE．
∵△BCF和△CDG都是等边三角形，点M与点C重合，
∴FM=BM，MD=GM，
∴FM=GM．
∵∠FMG=180°-60°-60°=60°，
∴△FMG是等边三角形．
故答案为：是；

（2）如图2，

∵点B是线段AC的中点，点D是CE的中点，点M为AE的中点，
∴AB=BC=$\frac{1}{2}$AC，CD=DE=$\frac{1}{2}$CE，AM=ME=$\frac{1}{2}$AE，
∴BD=BC+CD=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AE=AM，即BM+MD=BM+AB，
∴MD=AB．
∵△BCF和△CDG都是等边三角形，
∴BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，
∴MD=AB=BC=BF，BM=BC-MC=MD-MC=CD=GD．
在△FBM和△MDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DM}\\{∠FBM=∠MDG}\\{BM=DG}\end{array}\right.$，
∴△FBM≌△MDG，
∴MF=GM，∠BFM=∠DMG．
∵∠BFM+∠FMB+∠FBM=180°，∠DMG+∠FMB+∠FMG=180°，
∴∠FMG=∠FBM=60°，
∴△FMG为等边三角形；

（3）如图3，设FM与AC交于点O，连接BM、DM，

∵点B是线段AC的中点，点D是CE的中点，点M为AE的中点，
∴BM∥CE，BM=$\frac{1}{2}$CE=CD，DM∥AC，DM=$\frac{1}{2}$AC=BC．
∵△BCF和△CDG都是等边三角形，
∴BF=BC，CD=GD，∠FBC=60°，∠GDC=60°，
∴BF=BC=DM，BM=CD=GD，∠FBC=∠GDC．
∵BM∥CE，DM∥AC，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CDM=∠MBC，
∴∠FBM=∠MBC+60°=∠CDM+60°=∠GDM．
在△FBM和△MDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DM}\\{∠FBM=MDG}\\{BM=DG}\end{array}\right.$，
∴△FBM≌△MDG，
∴MF=GM，∠BFM=∠DMG．
∵DM∥BC，
∴∠FOC=∠FMD．
∵∠FOC=∠BFM+60°，∠FMD=∠DMG+∠FMG，
∴∠FMG=60°，
∴△FMG为等边三角形．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，借鉴解决第（2）小题的经验（通过证明△FBM≌△MDG来解决问题），是解决第（3）小题的关键．