Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出DP满足的条件：　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在，满足条件的x的值为6或；（3）DP=或10＜DP≤12

【解析】

（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；

（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF=∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．

（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围,从而得出DP的范围．

（1）证明：∵矩形ABCD，

∴∠ABE=90°，AD∥BC，

∴∠PAF=∠AEB，

又∵PF⊥AE，

∴∠PFA=90°=∠ABE，

∴△PFA∽△ABE．

（2）解：分二种情况：

①若△EFP∽△ABE，如图1，

则∠PEF=∠EAB，

∴PE∥AB，

∴四边形ABEP为矩形，

∴PA=EB=6，即x=6．

②如图2，若△PFE∽△ABE，

则∠PEF=∠AEB，

∵AD∥BC

∴∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF．

∴PE=PA．

∵PF⊥AE，

∴点F为AE的中点，

Rt△ABE中，AB=8，BE=6，

∴AE===10，

∴EF=，

∵△PFE∽△ABE，

∴，

∴，

∴PE=，

∴满足条件的x的值为6或．

（3）如图3，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG，

∵AP=x，

∴PD═DG=12﹣x，

∵∠DAG=∠AEB，∠AGD=∠B=90°，

∴△AGD∽△EBA，

∴，

∴，

∴x=，

∴，

当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，

此时PD=DE=10，

故答案为：DP=或10＜DP≤12．