Question

在直角坐标系xOy中，四边形ABCD中各个定点坐标分别是A（0，-4），B（2，0），C（0，1），D（-3，0），动点P（m，4m）在第三象限，且满足S_△PBC=S_△PAD．求点P的坐标．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形的面积

专题：

分析：根据平面直角坐标系找出点A、B、C、D的位置，然后顺次连接即可，再根据三角形的面积等于三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式表示出S_△PBC，利用待定系数法求出直线AD的解析式，表示出过点P与y轴平行的直线与直线AD的交点到P的距离，然后表示出S_△PAD，再列出方程求出m的值，再求解即可．

解答：解：四边形ABCD如图所示；
S_△PBC=（2-m）（1-4m）-

1

2

（-m）（1-4m）-

1

2

（-4m）（2-m）-

1

2

×1×2，
=-

9

2

m+1，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则

b=-4 -3k+b=0

，
解得

k=- 4 3 b=-4

，
所以，y=-

4

3

x-4，
当x=m时，y=-

4

3

m-4，
∴S_△PAD=

1

2

（-

4

3

m-4-4m）×3=-8m-6，
或S_△PAD=

1

2

[4m-（-

4

3

m-4）]×3=8m+6，
∵S_△PBC=S_△PAD，
∴-

9

2

m+1=-8m-6，
解得m=-2，
∴点P的坐标为（-2，-8），
或-

9

2

m+1=8m+6，
解得m=-

2

5

，
点P的坐标为（-

2

5

，-

8

5

），
综上所述，点P的坐标为（-2，-8）或（-

2

5

，-

8

5

）．

点评：本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于S_△PAD的表示，并且有点P在直线AD的下方和上方两种情况．