Question

矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4．
（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；
（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．

Answer 1

（1）可以在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是16；
（2）图形见解析．

试题分析：（1）设AM=x（0≤x≤4）则MD=4﹣x，根据正方形的性质就可以得出Rt△ANM≌Rt△DMF．根据正方形的面积就可以表示出解析式，由二次函数的性质就可以求出其最值；
（2）先将矩形纸片分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图，根据赵爽弦图的构图方法就可以拼成正方形．
试题解析：（1）正方形的最大面积是16．设AM=x（0≤x≤4），则MD=4﹣x．
∵四边形MNEF是正方形，
∴MN=MF，∠AMN+∠FMD=90°．
∵∠AMN+∠ANM=90°，
∴∠ANM=∠FMD．
∵在△ANM和△DMF中
，
∴△ANM≌△DMF（AAS）．
∴DM=AN．
∴S_{正方形MNEF}=MN²=AM²+AN²，
=x²+（4﹣x）²，
=2（x﹣2）²+8
∵函数 S_{正方形MNEF}=2（x﹣2）²+8的开口向上，
对称轴是x=2，
在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，
∵0≤x≤4，
∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大，最大值是16．
（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．
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