Question

如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：
（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；
（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与（1）所求的比值相同？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线经过A（1，0），设抛物线的解析式为y=ax²+1，首先得出二次函数解析式，进而得出P'点的坐标，从而得出B点坐标，再利用△CP′B∽△COA，得出线段CA与CB的比值；
（2）根据设抛物线的解析式为y=ax²+m（a≠0），得出y=-mx²+m，首先表示出B点的坐标，进而利用△CP′B∽△COA，得出线段CA与CB的比值．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+1（a≠0），
∵抛物线经过A（1，0），
∴0=a+1，a=-1，
∴y=-x²+1．
∵P′、P关于x轴对称，且P（0，1），
∴P′点的坐标为（0，-1），
∵P′B∥x轴，
∴B点的纵坐标为-1，
由-1=-x²+1，
解得x=±

2

，
∴B(

2

，-1)，
∴P'B=

2

．
∵OA∥P'B，
∴△CP'B∽△COA，
∴

CA

CB

=

OA

P′B

=

1

2

=

2

2

．

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+m（a≠0），
∵抛物线经过A（1，0），
∴0=a+m，a=-m，
∴y=-mx²+m．
∵P′B∥x轴，
∴B点的纵坐标为-m，当y=-m时，-mx²+m=-m，
∴m（x²-2）=0，
∵m＞0，
∴x²-2=0，
∴x=±

2

，
∴B(

2

，-m)，
∴P'B=

2

，
同（1）得

CA

CB

=

OA

P′B

=

1

2

=

2

2

．
∴m为任意正实数时，

CA

CB

=

2

2

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质，得出根据P′B=

2

，再利用△CP′B∽△COA，得出是解决问题的关键．