Question

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为底边作等腰三角形△ACD，AD=CD，E为AB的中点，连接CE、DE，DE与AC相交于点F．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AB=13cm，BC=5cm，P是射线DE上的一个动点，求△PBC的周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得到AE=CE，根据线段垂直平分线的判定定理得到DE是线段AC的垂直平分线，根据平行线的判定定理证明即可；
（2）根据轴对称求最短路径的知识可得，点C关于DE的对称点和点B的连线与DE的交点即是点P的位置，结合图形可得点P的位置即是点E的位置，从而可求出此时△PBC的周长．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，E是AB中点，
∴AE=CE，又AD=CD，
∴DE是线段AC的垂直平分线，
∴∠AFE=∠ACB=90°，
∴DE∥BC；
（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于DE的对称点是点A，
根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
故△PBC的最小周长=PB+PC+BC=13+5=18（cm）．

点评 本题考查的是全等三角形的判定、利用轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是利用轴对称的性质确定点P的位置．