Question

【题目】在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．

(1)（课本习题）如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD． 求证：DB=DE

(2)（尝试变式）如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD．

求证：DB=DE．

(3)（拓展延伸）如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）DB=DE成立，证明见详解

【解析】

（1）由等边三角形的性质，得到∠CBD=30°，∠ACB=60°，由CD=CE，则∠E=∠CDE=30°，得到∠E=∠CBD=30°，即可得到DB=DE；

（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G，证明△BDC≌△EDG，根据全等三角形的性质证明结论；

（3）过点D作DF∥AB交BE于F，由“SAS”可证△BCD≌△EFD，可得DB=DE．

证明：（1）∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠BCA=60°，

∵点D为线段AC的中点，

∴BD平分∠ABC，AD=CD，

∴∠CBD=30°，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠CED，

又∵∠CDE+∠CED=∠BCD，

∴2∠CED=60°，

∴∠CED=30°=∠CBD，

∴DB=DE；

（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G，如图，

∴∠DGC=∠ABC=60°，又∠DCG=60°，

∴△DGC为等边三角形，

∴DG=GC=CD，

∴BC-GC=AC-CD，即AD=BG，

∵AD=CE，

∴BG=CE，

∴BC=GE，

在△BDC和△EDG中，

，

∴△BDC≌△EDG（SAS）

∴BD=DE；

（3）DB=DE成立，

理由如下：过点D作DF∥AB交BE于F，

∴∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC，

∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB，

∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF，

∴△CDF为等边三角形

∴CD=DF=CF，

又AD=CE，

∴AD-CD=CE-CF，

∴BC=AC=EF，

∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°，

∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°，

∴∠BCD=∠DFE，且BC=EF，CD=DF，

∴△BCD≌△EFD（SAS）

∴DB=DE．