Question

17．如图，抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0）．点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．

Answer 1

分析 先利用交点式写出抛物线解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征确定E点坐标，接着证明FH为△ABE的中位线，然后计算出BE后即可得到FH的长．

解答 解：抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3，
把E（2，m）代入y=x²-2x-3得m=4-4-3=-3，则E（2，-3），
所以BE=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0+3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
而点H为抛物线的对称轴与x轴的交点，
所以AH=BH，
又因为点F是AE中点，
所以HF为△ABE的中位线，
所以FH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：利用次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．