Question

【题目】如图，在中，，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），，DE交AC于点E，且.下列结论：①∽；②当时，与全等；③为直角三角形时，BD等于8或.其中正确的有__________.（选填序号）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD=6，则DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得.

解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD，
故①正确；
②作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，

∴BG=ABcosB，
∴BC=2BG=2ABcosB=2×10×=16，
∵BD=6，
∴DC=10，
∴AB=DC，
在△ABD与△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（ASA），
故②正确；
③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8，
当∠CDE=90°时，

∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，

∴△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=，AB=10，
∴cosB=，

∴BD=，

故③正确，④错误；

故答案为：①②③．