Question

19．如图，在 Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作过C的直线l的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：△AMC≌△CNB；
（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，可得∠MAC=∠NCB，再根据AAS即可判定△AMC≌△CNB；
（2）根据△AMC≌△CNB，即可得出CM=BN=5，再根据Rt△ACM中，AC的长，即可得出等腰直角三角形ABC中AB的长．

解答 解：（1）∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，
∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，
∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180°-90°=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠BNC}\\{∠MAC=∠NCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△CNB（AAS）；

（2）∵△AMC≌△CNB，
∴CM=BN=5，
∴Rt△ACM中，AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{34}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{68}$=2$\sqrt{17}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的运用，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．