Question

7．△ABC是等腰直角三角形，其中∠C=90°，AC=BC，D是BC上任意一点（点D与点B、C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段；
（2）当点D为线段BC中点时，连接DF，求证：∠BDF=∠CDE；
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE、DE、AD三者之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据ASA证明△CBG≌△ACD，得BG=DC；
（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，得∠CDE=∠G，再证明△BDF≌△BGF得出结论；
（3）如图3，作辅助线，分别证明△ACD≌△AFD和△ACN≌△CBF，得DN=2DE，AN=CF=2CE，可以得出结论．

解答 解：（1）BG=DC，理由是：
如图1，∵∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GCA=90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CEA=90°，
∴∠GCA+∠CAD=90°，
∴∠BCG=∠CAD，
∵∠ACB=∠CBG=90°，AC=BC，
∴△CBG≌△ACD（ASA），
∴BG=DC；
（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，
∴∠CDE=∠G，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵BG=DC，
∴BG=BD，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∵∠CBG=90°，
∴∠GBA=45°，
∴∠GBA=∠CBA=45°，
∵BF=BF，
∴△BDF≌△BGF（SAS），
∴∠BDF=∠G，
∴∠BDF=∠CDE；
（3）AD=2DE+2CE，理由是：
如图3，过C作CM⊥AB于M，交AD于N，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCM=∠ACM=45°，
∵点C和点F关于直线AD成轴对称，
∴AD是CF的中垂线，
∴CE=EF，CD=DF，AC=AF，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD，
∴∠DFA=∠ACB=90°，
∵∠CBA=45°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴BF=DF，
∴BF=DF=CD，
∵AC=AF，∠BAC=45°，
∴∠ACF=∠CFA=67.5°，∠CAE=∠FAE=22.5°，
∴∠BCG=90°-67.5°=22.5°，
∴∠ECN=45°-22.5°=22.5°，
∴∠ECN=∠BCG，
∴△DCE≌△NCE，
∴DC=CN，DE=EN，
∴CN=BF，
∵∠CAD=∠BCG=22.5°，
∵AC=BC，
∴△ACN≌△CBF，
∴CF=AN=2CE，
∴AD=DE+EN+AN=2DE+CF=2DE+2CE．

点评 本题是三角形的综合题，难度适中，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定，根据全等三角形的对应边相等和对应角相等解决问题，对于线段的和的问题，也是利用全等三角形将边平移到同一条直线上，得也相应的关系．