以边长为a的正方形ABCD的对角线AC长为半径.以点A为圆心作弧交AB边的延长线于点E.交AD边的延长线于点F.得扇形AECF.把扇形AECF的面积称为正方形ABCD面积的扩展,再以线段AE为一边作正方形AEGH.以对角线AG的长为半径.点A为圆心画弧交AE边的延长线于点M.交AH边的延长线于点N.得扇形AMGN.则扇形AMGN的面积是正方形AEGH面积的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

以边长为a的正方形ABCD的对角线AC长为半径，以点A为圆心作弧交AB边的延长线于点E，交AD边的延长线于点F，得扇形AECF，把扇形AECF的面积称为正方形ABCD面积的扩展；再以线段AE为一边作正方形AEGH，以对角线AG的长为半径，点A为圆心画弧交AE边的延长线于点M，交AH边的延长线于点N，得扇形AMGN，则扇形AMGN的面积是正方形AEGH面积的扩展，按此

法依次进行到如图所示，叫做正方形ABCD面积的第一次扩展．按这种方法可进行第二次扩展，直到第n次扩展
（1）求第一次扩展中各扇形面积之和S₁；
（2）求第二次扩展中各扇形面积之和S₂（第二次扩展的第一个正方形是以第一次扩展的最后一个扇形半径为边长的正方形）；
（3）求第n次扩展中各扇形面积之和S_n．

分析：（1）根据扇形的面积公式和勾股定理可计算出扇形的面积；
（2）分别计算出各扇形的半径，利用扇形面积公式计算；
（3）从第一次和第二次中要找到规律，第二次是第一次的16倍，所以第三次就是16的2倍，即16^2-1，
第n次就是16^n-1．

解答：解：（1）根据勾股定理可知半径为

a；
第一次扩展半径为2a；
第三次扩展的半径为2

a；
第四次为4a；
根据扇形面积可知第一次扩展中各扇形面积之和
S₁=

90π×2a2

360

90π×4a2

360

90π×8a2

360

90π×16a2

360

a²π．

（2）第二次扩展中各扇形的半径分别是

a，8a，

128

a，16a，
根据扇形面积可得第二次扩展中各扇形面积之和
S₂=

90π×32a2

360

90π×64a2

360

90π×128a2

360

90π×256a2

360

=120πa²．

（3）从第一次和第二次中要找到规律，
第二次是第一次的16倍，
所以第三次就是16的2倍，即16^2-1，
第n次就是16^n-1．
所以第n次扩展中各扇形面积之和S_n=

16^n-1πa²．

点评：在第一二次中主要是根据扇形的面积公式计算，在第三次中却要从第一次和第二次中找到规律进行计算．

练习册系列答案

赢在中考全程优化单元滚动测试卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为

；所作的第n个四边形的周长为

．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，以边长为

的正方形ABCD的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线y=x²+bx+c经过点B

且与直线AB只有一个公共点．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求抛物线y=x²+bx+c的解析式．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

（2012•邯郸一模）如图1，以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径做⊙O，交对角线AC于点E．
（1）线段AE=

．
（2）如图2，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），旋转过程中AD与⊙O交于点F，
①当α=30°时，请求出线段AF的长；
②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；
③当α=

90°

时，DM与⊙O相切．